SO(3)上的黎曼度量

\(\mathrm{SO(3)}\) 上的黎曼度量

Problem Statement

\(\mathrm{SO(3)}\) 是嵌在 \(\mathbb{R}^{3\times 3}\) 中的3维流形，由于其不是线性空间，无法直接在 \(\mathrm{SO(3)}\) 上定义内积和范数。幸运的是，对于任何 \(\mathbb{R}^n\) 的光滑子流形，我们都可以通过在其切空间定义内积导出其黎曼度量。

本文梳理了\(\mathrm{SO(3)}\) 上的黎曼度量导出过程，即：

首先在单位元处定义Killing型内积，接着，利用群的左平移映射（Left Translation）将该内积推广至流形上的任意一点 $g \in \mathrm{SO(3)}$。具体而言，对于任意点 $g$ 的切空间 $T_g \mathrm{SO(3)}$ 中的向量，可以通过左平移的微分映射将其拉回至单位元切空间，再利用上述定义的内积进行计算。

这一构造过程由定义直接保证了度规的左不变性（Left-invariance）。此外，由于 \(\mathrm{SO(3)}\) 的 Killing 型具有 Ad-不变性（Ad-invariance），该度规同时满足右不变性（Right-invariance）。

因此，由 Killing 型诱导的度规构成了 $\mathrm{SO(3)}$ 上的一个双不变黎曼度规（Bi-invariant Riemannian Metric）。进而可以将$\mathrm{SO(3)}$ 上两点之间通过积分得到的最短曲线长(测地线)定义为两个点之间的距离。

00 度量空间、赋范空间、内积空间

参考：范数空间，度量空间，内积空间有什么关系？ - zdr0的回答 - 知乎

1. 度量空间 (Metric Space)

度量空间定义了元素之间的距离。 设 \(X\) 是一个集合，距离函数\(d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}\) 满足：

1. 非负性：\(d(x, y) \ge 0\)，且 \(d(x, y) = 0 \iff x = y\)
2. 对称性：\(d(x, y) = d(y, x)\)
3. 三角不等式：\(d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)\)

2. 范数空间 (Normed Vector Space)

范数空间定义了向量的长度。 设 \(V\)是线性空间，范数\(\Vert\cdot\Vert: V \rightarrow \mathbb{R}\) 满足：

1. 非负性：\(\Vert x\Vert \ge 0\)，且 \(\Vert x\Vert = 0 \iff x = 0\)
2. 齐次性：\(\Vert\alpha x\Vert = \mid\alpha\mid \Vert x\Vert\) （\(\alpha\) 为标量）
3. 三角不等式：\(\Vert x + y\Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert\)

注：范数可以诱导出一个自然的度量：\(d(x, y) := \Vert x - y\Vert\)。

3. 内积空间 (Inner Product Space)

内积空间定义了向量间的夹角（以及长度）。 设 \(V\)是实线性空间，内积\(\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\) 满足：

1. 对称性：\(\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle\)
2. 线性性：\(\langle \alpha x + y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle\)
3. 正定性：\(\langle x, x \rangle \ge 0\)，且 \(\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0\)

注：向量与自身内积可以诱导出范数：\(\Vert x \Vert := \langle x , x\rangle\)。

度量空间、赋范空间、内积空间三者的关系

内积空间 \(\subset\) 赋范空间 \(\subset\) 度量空间
内积空间 \(\subset\) 赋范空间 \(\subset\) 线性空间

内积空间通过向量与自身内积可以诱导出范数所以是赋范空间，赋范空间局部有界因此有局部基所以可通过积分度量化。
度量空间如果局部有界且局部凸则可成为赋范空间，赋范空间如果满足平行四边形法则则为内积空间。

参考：范数空间，度量空间，内积空间有什么关系？ - 高町奈叶的回答 - 知乎

由内积诱导的范数

在一个装备了内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 的向量空间中，我们可以自然地定义范数：

\[\Vert x\Vert := \sqrt{\langle x, x \rangle}\]

为了证明这样一个定义的函数确实是“范数”，我们需要验证它满足范数的三条公理。

1. 非负性：由内积的正定性 \(\langle x, x \rangle \ge 0\) 显然成立。
2. 齐次性： \(\Vert\alpha x\Vert = \sqrt{\langle \alpha x, \alpha x \rangle} = \sqrt{\alpha^2 \langle x, x \rangle} = \mid\alpha\mid \Vert x\Vert\)，也成立。
3. 三角不等式：即证明 \(\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert\)。
   三角不等式的证明： 由Cauchy-Schwarz不等式（\(\mid\langle x, y \rangle\mid \le \sqrt{\langle x, y \rangle \cdot \langle x, y \rangle} = \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert\)）：

\[\begin{align*} \Vert x+y\Vert ^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \langle x, x \rangle + 2 \cdot \mathfrak{R}\{\langle x, y \rangle\} + \langle y, y \rangle \\ &\le \langle x, x \rangle + 2 \cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert + \langle y, y \rangle \\ &= \left(\Vert x\Vert + \Vert y\Vert\right)^2 \end{align*}\]

Cauchy-Schwarz 不等式的一般性证明

1. 定理陈述
   设 $V$ 是一个实内积空间，对于任意两个向量 $u, v \in V$，以下不等式成立：

   \[|\langle u, v \rangle|^2 \le \langle u, u \rangle \cdot \langle v, v \rangle\]

   当且仅当 $u$ 和 $v$ 线性相关时（即存在标量 $k$ 使得 $u = kv$ 或 $v = 0$），等号成立。

2. 一般性证明（构造二次函数法）

   如果 $v = 0$，则：

   • 左边：$\langle u, 0 \rangle = 0$
   • 右边：$|u| \cdot 0 = 0$不等式显然成立（$0 \le 0$）。因此，以下假设 $v \neq 0$。

   如果 $v \neq 0$，则：
   

   \[\langle u + tv, u + tv \rangle \ge 0\] \[\langle u, u \rangle + \langle u, tv \rangle + \langle tv, u \rangle + \langle tv, tv \rangle \ge 0\] \[\|u\|^2 + 2t\langle u, v \rangle + t^2\|v\|^2 \ge 0\]

   由于 $A = |v|^2 > 0$（因为 $v \neq 0$），这是一个开口向上的抛物线。因为对于任意实数 $t$，该多项式的值都大于等于 0，因此判别式 $\Delta$ 必须小于或等于 0。即：

   \[(2\langle u, v \rangle)^2 - 4(\|v\|^2)(\|u\|^2) \le 0\] \[4\langle u, v \rangle^2 - 4\|u\|^2\|v\|^2 \le 0\]

   得证：

   \[|\langle u, v \rangle| \le \|u\| \|v\|\]

01 李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 与 Killing 型

在构建流形上的度量之前，我们必须先在单位切空间（李代数）上定义“长度”的标准。

1. 李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的结构 $\mathrm{SO}(3)$ 的单位元 $e$ 处的切空间即为反对称矩阵空间：

   \[\mathfrak{so}(3) = \{ X \in M_3(\mathbb{R}) \mid X^T = -X \}\]

   其同构于 $\mathbb{R}^3$。

2. Killing 型 (Killing Form)

   对于任意李代数 $\mathfrak{g}$，Killing 型 $B: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$ 定义为：

   \[B(X, Y) = \text{tr}(\text{ad}_X \circ \text{ad}_Y)\]

   其中 $\text{ad}_X(Z) = [X, Z]$ 是伴随表示。对于 $\mathfrak{so}(3)$ 的特殊性：在矩阵李群中，Killing 型通常与矩阵的迹成正比。对于 $\mathfrak{so}(n)$，有公式 $B(X, Y) = (n-2)\text{tr}(XY)$。对于 $n=3$，即有：\(B(X, Y) = \text{tr}(XY)\)由于 $X, Y$ 是反对称矩阵（即 $X^T = -X$），我们可以看到：\(\text{tr}(X X) = \text{tr}(X (-X^T)) = - \text{tr}(X X^T) = - \sum_{i,j} X_{ij}^2 < 0 \quad (\text{若 } X \neq 0)\)这验证了 $\mathrm{SO}(3)$ 作为紧半单李群，其 Killing 型是负定的。3. 定义内积为了得到正定度量，我们定义单位元处的内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle_e$ 为 Killing 型的负倍数（通常引入系数以简化计算，例如 $-\frac{1}{2}$）：\(\langle X, Y \rangle_e = -\frac{1}{2} B(X, Y) = -\frac{1}{2} \text{tr}(XY) = \frac{1}{2} \text{tr}(X Y^T)\)这正是矩阵空间上标准的 Frobenius 内积，确保了正定性。

02 从 $\mathfrak{so}(3)$ 上的内积到 \(\mathrm{SO(3)}\) 上的度量

Problem Statement

$\mathfrak{so}(3)$ 上的内积可以诱导出 \(\mathrm{SO(3)}\) 幺元处切空间的范数，通过左平移可以得到 \(\mathrm{SO(3)}\) 每一点上得到范数。 而距离 \(ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j\)

1. 从原点到群上任意点：左不变度量的构造

利用群的左平移映射（Left Translation）$L_g: h \mapsto gh$。 因为 $L_g$ 是微分同胚，它将单位元 $I$ 映射到 $g$，同时将切空间 $\mathfrak{so}(3)$ 映射到 $T_g SO(3)$。

对于群上任意一点 $g$ 和该点切空间中的两个切向量 $u, v \in T_g SO(3)$， 我们把它们“拉回”（Pullback）到李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 中计算内积：

\[\langle u, v \rangle_g := \langle (dL_{g^{-1}})_g u, \, (dL_{g^{-1}})_g v \rangle_I\]

其中：$\langle \cdot, \cdot \rangle I$ 是预先在 $\mathfrak{so}(3)$ 上选定的内积。 $dL{g^{-1}}$ 是左平移的微分（推拉映射）。 结论：$\mathfrak{so}(3)$ 上的任意一个内积，都唯一决定了 $SO(3)$ 上的一个左不变黎曼度量。

1. Killing 型和双不变度量